Son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente.
CLASES DE GRADIENTES
Aritmético:
Si la cantidad es constante
Geométrico:
Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago. En la progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión, representado por E.
Diferidos:
Son aquellos valorados con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen del gradiente y el momento de valoración es el período diferido o de gracia.
Gradientes anticipados:
Aquellos valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final del gradiente y el momento de valoración es el período de anticipación. Pago o cobro por adelantado.
Gradiente en Escalera:
es aquel en el cual se presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo cuatro cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento
A continuación un vídeo que habla sobre la importancia de los gradientes, sus clases y la aplicabilidad que ellos tienen en las matemáticas financieras.
Cualquier duda o inquietud que aun posean favor escribirlas al blog y en el próximo espacio académico serán resueltos.
No olviden dejar sus comentarios respecto al tema y al vídeo.
A continuación otros conceptos importantes en las matemáticas financieras para tener en cuenta.
ANUALIDAD ANTICIPADA
Las anualidades anticipadas ocurren al inicio de cada periodo de
tiempo.
Podemos ver como se refleja en el diagrama de flujo.
En el siguiente video tutorial sobre anualidades anticipadas veremos como realizar ejercicios utilizando las herramientas de la hoja de calculo en Excel, lo cual permitirá aplicar los temas vistos de una manera mas sencilla, clara y rápida.
Cualquier duda que surja por favor escribirla junto con sus comentarios sobre el vídeo
ANUALIDAD DIFERIDA
Las anualidades diferidas, son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas, salvo que estas tienen un período de gracia. También se puede interpretar que son aquellas en las cuales el primer pago se hace algún tiempo después del término del primer período de interés.
En el siguiente vídeo tutorial se muestra como se pueden realizar los ejercicios de anualidades utilizando las herramientas de la hoja de calculo de excel, parte fundamental para la realización de los talleres.
Taller A Realizar
1.Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros meses.
2.Una deuda de $100.000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas, con interés del 12% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el noveno pago.
3. Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago.
4. ¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de $9.500 se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $29.540 si se carga una tasa anual de 34% convertible mensualmente?
Entregar el taller para la próxima clase, y realizar los respectivos comentarios acerca del tema y del vídeo visto.
ANUALIDADES VENCIDAS
También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. A continuación podrán ver el siguiente vídeo tutorial para despejar cualquier duda que surja, ya que mostrara la diferencia entre anualidades vencidas y anticipadas.
En el siguiente video tutorial veremos como se aplica el tema visto en un diagrama de flujo para mayor claridad y efectividad en los ejercicios,
Ejercicios de anualidades venidas y anticipadas a Realizar
1.Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.
2. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.
3.Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.
4. Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?
ANUALIDAD PERPETUA
Es aquella que tiene infinito número de pagos, es decir, Este tipo de anualidades se presenta, cuando se coloca un capital y únicamente se retiran los intereses.
A continuación se presenta unas diapositivas que reflejan en la practica los conceptos vistos sobre anualidades perpetuas tomadas del profesor L.M. Jose T. dominguez
Realizar comentarios sobre las diapositivas presentadas. Vale para la nota apreciativa.
Ejercicios a Realizar sobre Anualidades Perpetuas
1.Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcular con la tasa del 5%.
2. Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.
3. Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcular con la tasa del 8%.
4. ¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de $9.500 se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $29.540 si se carga una tasa anual de 34% convertible mensualmente?
Entregar los ejercicios en la próximo espacio académico.
A continuación veremos algunos términos de gran importancia en las matemáticas financieras que se utilizarán en la realización de los ejercicios de interés compuesto; éstos son valor presente, valor futuro, periodo, tiempo, tasa efectiva, y tasa nominal.
VALOR PRESENTE
También llamado valor actual, es el valor actual de un flujo de fondos futuros, obtenidos mediante un descuento, es decir la diferencia entre el costo de capital y el valor presente del flujo de efectivos futuro. fuente: MiMi
Donde
Vp: Valor Presente
C: Capital
1: Constante
i: Tasa de interés anual
n: Número de periodos
Ejemplo
¿Cuál es el valor actual de un pago único de 1 millón de dólares recibido dentro de 50 años si la tasa de interés es (a) el 6% anual, (b) el 10% anual y (c) el 20 % anual?
DATOS:
P=?
F=$1000000
n = 50 años
a) i =6% / año
b) i =10% / año
c) i =20% / año
tomado de INGTEKCH.
En el siguiente vídeo tutorial se hace mención a las definiciones sobre valor presente, tomándolo como necesario para llevar a cabo ejercicios en los que se necesite hallar el valor presente neto, y la tasa interna de retorno, herramientas necesarias para una acertada decisión en el momento de realizar una inversión.
Realizar los siguientes ejercicios aplicando lo visto, cualquier inquietud o comentario, escribirlo en el blog .
Y presentarlo en la próxima clase.
Ejercicios para resolver
1 .Isabela desea adquirir un inmueble dentro de 2 años. Supone que el enganche que habrá de pagar hacia esas fechas será de $35,000. Si desea tener esa cantidad dentro de dos años¿que cantidad debe invertir ahora en su deposito de renta fija que rinde 2.9% de interés mensual simple?
2. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.
3. Mariana recibe una herencia que puesta en una cuenta arroja unos intereses de $86.000 en 1 año,Cual fue el valor de la herencia?
4. Dentro de dos años usted deberá cancelarla suma de $ 3.281.031, por un crédito realizado hace tres años. Si la entidad financiera le cobra una tasa de interés equivalente al 24% anual capitalizado mensualmente, ¿ cuánto fue el monto del crédito?
VALOR FUTURO
Es el valor de una suma de dinero actual en una fecha futura, basándose en un tipo de interés apropiado y el número de años hasta que llegue esa fecha futura.
Cómo podemos calcular el valor futuro de una cantidad?
Para cuantificar el monto final que tendremos en una fecha determinada debemos conocer la siguiente información:
M = Monto a invertir
Es la cantidad que debemos invertir para lograr nuestro objetivo.
i = Interés por cada periodo que vamos a invertir
Se refiere al cobro o pago de intereses que aplicarán a nuestro crédito o inversión en un periodo de tiempo.
N = Número de periodos que estará invertido el monto.
Nuestras inversiones o préstamos se realizarán por ciertos periodos: mensual, anual o cualquier otro, donde se aplicará la tasa de interés.
Después de conocer esta información y aplicando la siguiente fórmula podremos calcular el monto futuro que obtendremos con una inversión inicial:
Fórmula para calcular el valor futuro de una cantidad:
VF = M (1 + i)^n
Donde:
VF = Valor Futuro
M = Monto a invertir
i = Interés
N = Número de periodos
Aplicando ésta formula, con los siguientes valores ficticios, se resolvería así:Valores Ficticios
M = 10,000
i = 10%
n = 1 año
Ejercicios para desarrollar en casa y entregar en la próxima clase.
1. Se invierte $2.000.000 al inicio del año 2008 a una tasa anual del 10%; ¿Cuánto se habrá acumulado al
final del año 2012?
2. Un banco promete una tasa efectiva anual del 8%. ¿Cuál será el valor final de una inversión de $2’000.000 durante tres meses?
3. El 15 de Agosto se colocaron $15.000 al 70 % anual durante 6 meses, fecha en la cual se retira el total producido y se lo deposita en otro Banco al 78% anual durante 4 meses más. Calcular el saldo total acumulado al cabo de 10 meses.
ECUACIONES DE VALOR
En estas ecuaciones de valor se hace uso de un concepto "Fecha Focal", la cual significa la fecha en las cual se capitalizan o actualizan las viejas y nuevas obligaciones. Para ello, el deudor y acreedor tienen que convenir:
1. La nueva tasa de interés a la que se hará la sustitución de las deudas originales.
2. La fecha de valuación, conocida como la fecha focal.
A continuación veremos un vídeo tutorial que permitirá despejar algunas dudas que aun se hayan generado correspondiente al tema visto, de una forma clara, utilizando herramientas como diagrama de flujo.
Si después de ver el vídeo surge alguna duda o inquietud favor escribirlas antes de la próxima fecha de clase para resolverlas en el salón junto con sus demás compañeros.
en caso de no tener dudas favor escribir sus comentarios acerca del tema y del vídeo.
En este espacio podrán obtener contenidos y ayudas audiovisuales que constituye una herramienta de apoyo para los estudiantes que desarrollen la asignatura Matemáticas Financieras, en las áreas de Ciencias Económicas, Administrativas y Contables. En éste espacio académico se tratarán temas como Interés Simple y Compuesto, Anualidades, Gradientes, y desarrollaremos algunos ejercicios que serán de gran importancia en la adecuada toma de decisiones de tipo financiero.
En este espacio veremos lo relacionado con la definición de Interés Simple y compuesto, las clases de interés simple que existen y algunos ejercicios aplicados, los cuales son fundamentales para el desarrollo de todos los temas siguientes.
INTERÉS SIMPLE
Es el resultado que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversión se deben únicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interés simple, los intereses son función únicamente del capital principal, la tasa de interés y el número de períodos.
CLASES
DE INTERÉS SIMPLE
Interés ordinario con tiempo exacto:
En este caso se
supone un año de 360 días.
Interés ordinario con tiempo aproximado.
En este caso se
supone un año de 360 días y 30 días al mes.
Interés exacto con tiempo exacto.
En este caso se
utilizan 365 o 366 días al año y mes según calendario.
Interés exacto con tiempo aproximado.
Para el cálculo de
éste interés se usa 365 o 366 días al año y
30 días al mes.
Ejemplo
Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido
durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
Solución
Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, (6/100), y se obtiene 0,06
? = C * i * t
I = (25 000)(0,06)(4) = 6 000
El interés es de 6 000 pesos
Ahora continuamos con lo referente al tema de Interés compuesto.
INTERÉS COMPUESTO
Representa
el costo del dinero, beneficio o utilidad de
un capital Inicial (CI) o principal a una tasa de interés (i) durante un período
(n),en el cual los
intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran
sino que se re invierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.
Ejemplo
¿Cuánto deberá
depositarse hoy en una entidad financiera que paga un interés trimestral del
8.5%,
para tener $4'000.000 dentro de 2 años?
F= $4'000.000
i= 8.5%
trimestral n= 8 trimestres (2 años) P=?
P = F * (1+i)^(-n)
P= 4'000.000
(1+0.085)^(-8)
P= 2'082.677,79
Para complementar los
temas, ver el siguiente vídeo tutorial que muestra de una manera práctica la
diferencia entre el interés simple y el compuesto, lo cual podemos utilizar en nuestra vida cotidiana para la asertiva toma de decisiones financieras, Luego realizar los
ejercicios planteados .
Las inquietudes que
surjan del taller y del tema en general junto con los comentarios a que haya
lugar, favor escribirlos en el blog.
EJERCICIOS INTERÉS SIMPLE
1.
Calcular el interés simple producido por 50 000 pesos durante 60 días a una
tasa de interés anual del 5 %.
2.
Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto
de intereses, 32.000 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2
%. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?
3. Un
préstamo de $40 000 se convierte al cabo
de un año en 46.000 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada.
4.
Un capital de 500 000 pesos invertido a una tasa de interés del 6 % durante un
cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 15 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha
estado invertido?
EJERCICIOS INTERÉS COMPUESTO
1. Determine el valor de
un capital que, colocado a una tasa de interés compuesto del
10% anual,
produjo $24.310.-, luego de 2 años, siendo semestral la
capitalización de intereses.
2. Calcule
los intereses acumulados en 27 días al 22% de interés anual, con
capitalización mensual,
para un capital de $20.000.
3. Calcule
el saldo final de un capital de $25.000.- colocados durante 5
años al 15% anual de interés
compuesto en los primeros 3 años y, en los
restantes, al 18% anual, siempre con capitalización
anual.
4. Qué
intereses producirá un capital de $6.250.- si se deja por 3 años a una tasa de
interés
compuesto del 14% semestral, con capitalización trimestral?
